વર્તૂળો ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ અને${x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા મેળવો.

જો વર્તુળો ${x^2} + {y^2} + 2x + 2ky + 6 = 0$ અને ${x^2} + {y^2} + 2ky + k = 0$ લંબ્ચ્છેદી હોય તો $k$ મેળવો.

$P$ એ એક બિંદુ $(a, b)$ કે જે પ્રથમ ચરણમાં આવેલ છે જો બે વર્તુળો બિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય અને બંને અક્ષોને કાટકોણ ખૂણે સ્પર્શે તો 

વર્તુળો પરના બિંદુઓ $P _{1}$ અને $P _{2}$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર મેળવો કે જેમાં એક બિંદુ$P _{1}$  એક વર્તુળ પર અને બીજું બિંદુ $P _{2}$ એ બીજા વર્તુળ પર વર્તુળ પર આવેલ છે. જ્યાં વર્તુળોના સમીકરણો $x^{2}+y^{2}-10 x-10 y+41=0$ ; $x^{2}+y^{2}-24 x-10 y+160=0$ છે.

જો વર્તુળ $C_1 : x^2 + y^2 - 2x- 1\, = 0$ પરના બિંદુ $(2, 1)$ પાસે આવેલ સ્પર્શક વર્તુળ $C_2$ જેનું કેન્દ્ર $(3, - 2)$ હોય તેની જીવા છે જેની લંબાઈ $4$ થાય તો વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા મેળવો. 

આપલે વર્તુળમાટે ઉપરોક્ત વિધાનમાંથી સત્ય વિધાન મેળવો.

$x^{2}+y^{2}-10 x-10 y+41=0$ ; $x^{2}+y^{2}-22 x-10 y+137=0$